CFA 1- Quantitative Method.5: Portfolio Mathematics

CFA 1- Quantitative Method.5: Portfolio Mathematics

I.Đo lường và diễn giải giá trị kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, hiệp phương sai và hệ số tương quan của các lợi nhuận của tài sản trong danh mục đầu tư

1. Expected Return (Lợi nhuận dự kiến)

  • = Lợi nhuận kỳ vọng của danh mục

  • wi= Tỷ trọng tài sản ii trong danh mục

  • E(Ri) = Lợi nhuận kỳ vọng của tài sản i

Biểu thức này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết danh mục đầu tư hiện đại (Modern Portfolio Theory – MPT) để tối ưu hóa danh mục đầu tư.

2. Covariance (Tính toán dựa trên dữ liệu xác suất)

 

3. Correlation (Hệ số tương quan)

Định nghĩa : Là đo lường mối quan hệ tuyến tính giữa hai biến số, thường là lợi nhuận của hai tài sản trong tài chính. Hệ số này cho biết mức độ mà hai tài sản di chuyển cùng nhau hoặc ngược chiều nhau.

Trong đó:

  • Cov(R1,R2) = Hiệp phương sai giữa hai tài sản R1 và R2.

  • σ(R1) = Độ lệch chuẩn của lợi nhuận tài sản R1.

  • σ(R2) = Độ lệch chuẩn của lợi nhuận tài sản R2.

  • ρ(R1,R2) nằm trong khoảng [-1, 1].

4. Variance (Phương sai)

Định nghĩa : Là thước đo mức độ phân tán của một tập dữ liệu quanh giá trị trung bình. Trong tài chính, phương sai được sử dụng để đánh giá mức độ biến động của lợi nhuận đầu tư, từ đó xác định rủi ro của một tài sản hoặc danh mục đầu tư.

Lưu ý:

  • Khi lấy căn bậc hai của phương sai, ta sẽ có độ lệch chuẩn (σ\sigma).

  • Phương sai càng lớn → Mức độ biến động càng cao → Rủi ro càng lớn.

5. Standard Deviation (Độ lệch chuẩn)

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation – σ(Rp)) là thước đo mức độ biến động của một tập hợp dữ liệu quanh giá trị trung bình. Trong tài chính, độ lệch chuẩn được sử dụng để đánh giá mức độ rủi ro của một tài sản hoặc danh mục đầu tư.

II.Xác định phân phối xác suất; so sánh và đối chiếu giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, bao gồm các hàm xác suất của chúng

1. Biến ngẫu nhiên – Random Variables

Biến ngẫu nhiên là một giá trị số biểu thị kết quả của một phép thử ngẫu nhiên. Gồm hai loại:

  • Biến ngẫu nhiên rời rạc(Discrete random variables:): Có số lượng kết quả hữu hạn, đếm được.

  • Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous random variables): Có số lượng kết quả vô hạn trong một khoảng nhất định.

2. Hàm xác suất – Probability Function

Phân phối xác suất cho biết xác suất của các kết quả có thể có của một biến ngẫu nhiên.

  • Biểu thị dưới dạng: p(x), là xác suất biến ngẫu nhiên X có giá trị x hoặc p(x) = P(X = x).
  • 0 ≤ p(x) ≤1.
  • Tổng tất cả p(x) luôn bằng 1.

III. Tính toán và giải thích xác suất của một biến ngẫu nhiên dựa trên hàm phân phối xác suất tích lũy của biến này

Hàm phân phối lũy kế – Cumulative distribution function

  • Xác định xác suất để một biến ngẫu nhiên, X, nhận một giá trị bằng hoặc nhỏ hơn một giá trị cụ thể, x.
  • Ký hiệu: F(x) = P(X ≤ x).

Ứng dụng của CDF trong tài chính

  • Đánh giá xác suất xảy ra của một mức lợi nhuận cụ thể.
  • Ước lượng rủi ro, ví dụ như Value at Risk (VaR).
  • Dự báo biến động giá tài sản bằng cách sử dụng phân phối xác suất.

IV.Mô tả các xác suất của một biến ngẫu nhiên đồng nhất rời rạc; tính toán và diễn giải các xác suất dựa trên hàm phân phối đồng nhất rời rạc của biến này

Phân phối đồng nhất rời rạc (Discrete uniform distribution)

Là phân phối xác suất mà khả năng xuất hiện của các kết quả là như nhau.

Đặc điểm:

  • p(1) = p(2) = p(3) = … = p(n)
  • F(x) = P(X ≤ x)

V.Mô tả phân phối đồng nhất liên tục; tính toán và diễn giải các xác suất dựa trên hàm phân phối đồng nhất liên tục

Phân phối đồng nhất liên tục (Continuous uniform distribution)

Là phân phối xác suất được xác định trong một phạm vi kéo dài giữa một số giới hạn dưới, a và một số giới hạn trên, b, dùng làm tham số của phân phối.

Hàm mật độ xác suất:

Hàm phân phối xác suất lũy kế:

VI.Mô tả các thuộc tính của biến ngẫu nhiên Bernoulli và biến ngẫu nhiên nhị thức; tính toán và giải thích các xác suất dựa trên hàm phân phối nhị thức

Binomial distribution:

Phép thử Bernoulli là một thử nghiệm với hai kết quả duy nhất là thất bại và thành công.

Xác suất đạt x lần thành công trong n phép thử có công thức như sau:

Số phép thử thành công kỳ vọng trong n phép thử X = E(X) = n x p.

Phương sai của biến ngẫu nhiên nhị thức X = n x p x (1-p).

VII. Giải thích các đặc tính chính của phân phối chuẩn

1. Các đặc tính chính của phân phối chuẩn:

  • Phân phối được xác định bởi 2 tham số là giá trị trung bình, μ và phương sai, 
  • Skewness = 0.
  • Kurtosis = 3 và Excess kurtosis = 0
  • Xác suất của các giá trị nhận được của X càng nằm xa giá trị trung bình sẽ càng nhỏ nhưng không nhận giá trị 0 (tiệm cận 0) với X nhận giá trị từ (-∞; +∞).

2. So sánh giữa phân phối đa biến và phân phối đơn biến; giải thích vai trò của hệ số tương quan trong phân phối chuẩn đa biến

Định nghĩa:

  • Phân phối đơn biến (Univariate distribution): Mô tả các xác suất của một biến ngẫu nhiên duy nhất.
  • Phân phối đa biến (Multivariate distribution): Mô tả các xác suất cho một nhóm các biến ngẫu nhiên có liên quan.

Đặc điểm chính của phân phối đa biến

Phân phối đa biến có ý nghĩa khi sự biến thiên của mỗi biến ngẫu nhiên trong nhóm theo một cách nào đó phụ thuộc vào hành vi của những biến khác.

Bộ ba tham số dùng để xác định phân phối chuẩn đa biến cho lợi nhuận của n tài sản bao gồm:

  • Giá trị trung bình: có n giá trị trung bình của biến lợi nhuận
  • Phương sai: có n giá trị phương sai của biến lợi nhuận
  • Hệ số tương quan: có 0.5*n*(n-1) cặp hệ số tương quan tương ứng.

VIII.Tính toán xác suất để một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn nằm trong một khoảng nhất định

Khoảng tin cậy (Confidence intervals) của phân phối chuẩn

  • Khoảng tin cậy 90% cho X là X – 1,65 × độ lệch chuẩn đến X + 1,65 × độ lệch chuẩn.
  • Khoảng tin cậy 95% cho X là X – 1,96 × độ lệch chuẩn đến X + 1,96 × độ lệch chuẩn.
  • Khoảng tin cậy 99% cho X là X – 2,58 × độ lệch chuẩn đến X + 2,58 × độ lệch chuẩn.

VIII. Giải thích cách chuẩn hóa một biến ngẫu nhiên; tính toán và giải thích các xác suất bằng cách sử dụng phân phối chuẩn tắc

Để chuẩn hóa một quan sát từ phân phối chuẩn nhất định (X), giá trị z-value của quan sát (Z) phải được tính:

Trong đó:

  • X ~ N (μ,)
  • Z ~ N (0,1)

IX. Định nghĩa rủi ro tổn thất; tính toán chỉ số SFR; xác định danh mục đầu tư tối ưu bằng cách sử dụng Roy’s safety-first criterion

Shortfall riskXác suất mà giá trị danh mục đầu tư hoặc lợi nhuận sẽ giảm xuống dưới một mục tiêu cụ thể (hoặc lợi tức chấp nhận tối thiểu) trong một khoảng thời gian nhất định.

Roy’s safety – first: Danh mục đầu tư tối ưu là danh mục đầu tư giảm thiểu rủi ro thiếu hụt hoặc tối đa hóa tỷ lệ an toàn trên hết của Roy, trong đó:

Công thức:

(RL: threshold return level, là mức tối thiểu có thể chấp nhận được)

Lưu ý: Tỷ lệ an toàn càng cao thì danh mục đầu tư càng tối ưu.